Question

【題目】設橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 點A（{2， ）在橢圓上，且滿足 =0． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）動直線l：y=kx+m與橢圓C交于P，Q兩點，且OP⊥OQ，是否存在圓x2+y2=r2使得l恰好是該圓的切線，若存在，求出r；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ， ∴AF2⊥F1F2 ，
∵A在橢圓上，
∴ ，解得 ．
∴ ，解得a2=8，b2=4，．
∴橢圓 ．
（Ⅱ）設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
將l：y=kx+m代入 ，整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，
∵△＞0，
∴8k2﹣m2+4＞0，
且 ， ，
∴ ，
∵OP⊥OQ，
∴x1x2+y1y2=0，即 ，
∴ ，
由 和8k2﹣m+4＞0，得 即可．
∵l與圓x2+y2=r2相切，
∴ ，
存在圓 符合題意．
【解析】（1）由題意可知c=2，將A代入橢圓，列方程組，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）將直線l的方程代入橢圓方程，△＞0，根據韋達定理定理求得x1+x2及x1x2 ， 代入直線l方程求得y1y2 ， 由OP⊥OQ，根據向量數量積的坐標表示求得x1x2+y1y2=0，求得m的取值范圍，l與圓x2+y2=r2相切，代入即可求得r的值．