Question

【題目】已知函數f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx．
（1）當a＞0時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）當a＜0時，求函數f（x）在 上的最小值；
（3）記函數y=f（x）的圖象為曲線C，設點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是曲線C上的不同兩點，點M為線段AB的中點，過點M作x軸的垂直交曲線C于點N，判斷曲線C在點N處的切線是否平行于直線AB，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx，

∴f′（x）=2ax+（1﹣2a）﹣ = ，

∵a＞0，x＞0，

∴2ax+1＞0，解f′（x）＞0，得x＞1，

∴f（x）的單調增區間為（1，+∞）

（2）解：當a＜0時，由f′（x）=0，得x1=﹣ ，x2=1，

①當﹣ ＞1，即﹣ ＜a＜0時，f（x）在（0，1）上是減函數，

∴f（x）在[ ，1]上的最小值為f（1）=1﹣a．

②當 ≤﹣ ≤1，即﹣1≤a≤﹣ 時，

f（x）在[ ，﹣ ]上是減函數，在[﹣ ，1]上是增函數，

∴f（x）的最小值為f（﹣ ）=1﹣ +ln（﹣2a）．

③當﹣ ＜ ，即a＜﹣1時，f（x）在[ ，1]上是增函數，

∴f（x）的最小值為f（ ）= ﹣ a+ln2．

綜上，函數f（x）在區間[ ，1]上的最小值為：

f（x）min= ；

（3）解：設M（x0，y0），則點N的橫坐標為x0= ，

直線AB的斜率k1= = [a（x12﹣x22）+（1﹣2a）（x1﹣x2）+lnx2﹣lnx1]

=a（x1+x2）+（1﹣2a）+ ，

曲線C在點N處的切線斜率k2=f′（x0）=2ax0+（1﹣2a）﹣ =a（x1+x2）+（1﹣2a）﹣ ，

假設曲線C在點N處的切線平行于直線AB，則k1=k2，

即 =﹣ ，

∴ln = = ，

不妨設x1＜x2， =t＞1，則lnt= ，

令g（t）=lnt﹣ （t＞1），則g′（t）= ﹣ = ＞0，

∴g（t）在（1，+∞）上是增函數，又g（1）=0，

∴g（t）＞0，即lnt= 不成立，

∴曲線C在點N處的切線不平行于直線AB

【解析】（1）求出函數f（x）的導函數，由a＞0，定義域為（0，+∞），再由f′（x）＞0求得函數f（x）的單調增區間；（2）當a＜0時，求出導函數的零點﹣ ，1，分﹣ ＞1， ≤﹣ ≤1，﹣ ＜ ，討論函數f（x）在區間[ ，1]上的單調性，求出函數的最小值，最后表示為關于a的分段函數；（3）設出線段AB的中點M的坐標，得到N的坐標，由兩點式求出AB的斜率，再由導數得到曲線C過N點的切線的斜率，由斜率相等得到ln = ，令 =t后構造函數g（t）=lnt﹣ （t＞1），根據函數的單調性判斷不成立．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．