Question

【題目】已知橢圓的一個頂點為，焦點在軸上，離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓與直線相交于不同的兩點，當時，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用橢圓的一個頂點為，離心率為，列出關于 、 、的方程組，求出 、，從而可得橢圓的方程；（2）設為弦的中點，直線與橢圓方程聯立得)，由于直線與橢圓有兩個交點，可得,由可得，從而得，由此可推導出的取值范圍.

（1）∵橢圓C的焦點在x軸上，

∴設橢圓C的方程為：，

依題意有：，解得：，

∴橢圓C的方程為：，

（2）設，則

由消y得：，

又直線與橢圓有兩不同交點，

∴，即 ①

由韋達定理有：，，

∴ ，

設M、N的中點為，則，

又，

∴，

∴，化簡得： ， ②

將②式代入①式得：，解得： ，

又由②式有：，解得： ，

綜上述，實數m的取值范圍是．