Question

【題目】如圖，已知正方體的棱長為1，點是棱上的動點，是棱上一點，.

（1）求證：；

（2）若直線平面，試確定點的位置，并證明你的結論；

（3）設點在正方體的上底面上運動，求總能使與垂直的點所形成的軌跡的長度.（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】分析：（1）要證，需證明平面，要證，，用綜合法書寫即可。

（2）要證明平面，需證明，需證面，需證面，需證：，要證明：，由此確定E點的位置。

（3）過三等分點作平行線，對于上面的任意一點都有，再求長度。

詳解：（1）證明：連結，是正方形，所以，

在正方體中，平面，

所以，

又，

所以平面，

因為平面，

所以.

（2）當時，直線平面.

證明如下：

過點在平面作交于點，

連結，交于點，

因為，所以，

在與中，，，

所以，，

又，所以，

所以，，

在正方體中，面，

所以面，

所以，

又，

所以面，

所以，

又，，

所以直線平面.

（3）.