Question

【題目】在多面體中，四邊形是正方形， ， ， ， .

（Ⅰ） 求證： 平面；

（Ⅱ）在線段上確定一點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，平面與平面所成角的大小為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）在中，由正弦定理得得即即，在中，可得即，即，由此可證明平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 平面，則平面平面

如圖，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)，設(shè)平面的一個(gè)法向量，令，得

.

易知平面的一個(gè)法向量.由向量的夾角公式

， 化簡(jiǎn)得， .

即當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，平面與平面所成角的大小為.

試題解析：（Ⅰ） 四邊形是正方形， .

在中， ，即得

，即，在梯形中，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn).

， ， ，

在中，可求， ，

， .

又，

平面，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， ，

平面，又平面，

平面平面

如圖，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ， ， ，.

設(shè)， ，則.

設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，

即令，得

.

易知平面的一個(gè)法向量.

由已知得 ，

化簡(jiǎn)得， .

當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，平面與平面所成角的大小為.