Question

某市為“市中學生知識競賽”進行選拔性測試，且規定：成績大于或等于90分的有參賽資格，90分以下（不包括90分）的被淘汰.若有500人參加測試，學生成績的頻率分布直方圖如圖.

(1)求獲得參賽資格的人數；
(2)根據頻率直方圖，估算這500名學生測試的平均成績；
(3)若知識競賽分初賽和復賽，在初賽中每人最多有5次選題答題的機會，累計答對3題或答錯3題即終止，答對3題者方可參加復賽.已知參賽者甲答對每一個問題的概率都相同，并且相互之間沒有影響.已知他連續兩次答錯的概率為，求甲在初賽中答題個數的分布列及數學期望.

Answer 1

(1) 125 ,(2) 78.48 ,(3)

	3	4	5

＝

試題分析：(1)利用頻率分布直方圖中小長方體面積表示對應頻率的含義，求出獲得參賽資格的頻率(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20 ，再利用頻數等于總數乘以頻率，得獲得參賽資格的人數為500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人，(2)利用組中值進行估算平均值，即＝(×0.0065＋×0.0140＋×0.0170＋×0.0050＋×0.0043＋×0.0032)×20＝78.48分. (3)先求出參賽者甲答對每一個問題的概率，由得＝.學生甲答題個數的可能值為3,4,5,甲答題數為3時，要么全答對、要么全答錯。甲答題數為5時，前4題必然是兩對兩錯，最后一題不論對錯都結束。甲答題數為4時，前3題為一對兩錯時，第4題必答錯；前3題為一錯兩對時，第4題必答對.最后利用數學期望公式求期望值.
試題解析：(1)由頻率分布直方圖得,獲得參賽資格的人數為500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人. .                         (2分)
(2)設500名學生的平均成績為,則＝(×0.0065＋×0.0140＋×0.0170＋×0.0050＋×0.0043＋×0.0032)×20＝78.48分.         (6分)
(3)設學生甲答對每道題的概率為,則,∴＝
學生甲答題個數的可能值為3,4,5,
則=＝
＝所以的分布列為

	3	4	5

＝×3＋×4＋×5＝.          (12分)