Question

在某批次的某種燈泡中，隨機地抽取個樣品，并對其壽命進行追蹤調查，將結果列成頻率分布表如下.根據壽命將燈泡分成優等品、正品和次品三個等級，其中壽命大于或等于天的燈泡是優等品，壽命小于天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品.

壽命（天）	頻數	頻率
合計

（1）根據頻率分布表中的數據，寫出、的值；
（2）某人從燈泡樣品中隨機地購買了個，如果這個燈泡的等級情況恰好與按三個等級分層抽樣所得的結果相同，求的最小值；
（3）某人從這個批次的燈泡中隨機地購買了個進行使用，若以上述頻率作為概率，用表示此人所購買的燈泡中次品的個數，求的分布列和數學期望.

Answer 1

（1），；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）根據頻數之和為以及頻率之和為分別求出、的值；（2）先確定燈泡中優等品、正品、次品的個數，計算三者之間的比例，從而確定燈泡數的表達式，進而確定的最小值；（3）先確定隨機變量的可能取值，根據題中條件確定在不同取值下的概率，并列出相應的分布列，求出數學期望.
試題解析：（1），.
（2）由表可知：燈泡樣品中優等品有個，正品有個，次品有個，
所以優等品、正品和次品的比例為.
所以按分層抽樣法，購買燈泡數，
所以的最小值為；
（3）的所有取值為.
由題意，購買一個燈泡，且這個燈泡是次品的概率為，
從本批次燈泡中購買個，可看成次獨立重復試驗，
所以，
，
，
.
所以隨機變量的分布列為：
所以的數學期望.
（注：寫出，，、、、.請酌情給分）