Question

函數(shù)f(x)=(sinx+

3

cosx)sinx-

1

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）將y=f（x）的圖象向左平移

π

3

個(gè)單位，再將得到的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）后得到的y=g（x）的圖象．若y=g（x）（x＞0）的圖象與直線y=-

3

2

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，…，求數(shù)列{x_n}的前2n項(xiàng)和S_2n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)二倍角公式以及兩角和的正弦公式對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行整理，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性以及整體代入思想即可求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）先根據(jù)圖象的平移規(guī)律得到函數(shù)y=g（x）（x＞0）的圖象；再結(jié)合正弦曲線的對(duì)稱性，周期性求出相鄰兩項(xiàng)的和及其規(guī)律，最后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f(x)=(sinx+

3

cosx)sinx-

1

2

=sin（2x-

π

6

）
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ，可得

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ（k∈Z）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）y=f（x）的圖象向左平移

π

3

個(gè)單位，得到y(tǒng)=sin2x，再將得到的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）后得到函數(shù)y=sinx的圖象，即g（x）=sinx，
若函數(shù)g（x）=sinx（x＞0）的圖象與直線y=-

3

2

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，
則由正弦曲線的對(duì)稱性，周期性得：

x1+x2

2

=

3π

2

，

x3+x4

2

=2π+

3π

2

，…，

x2n-1+x2n

2

=2（n-1）π+

3π

2

，
所以x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n=（x₁+x₂）+（x₃+x₄）+…+（x_2n-1+x_2n）=3π+7π+11π+…+（4n-1）π=（2n²+n）π

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)三角函數(shù)單調(diào)性，對(duì)稱性，周期性以及公式的綜合考查，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于根據(jù)二倍角公式以及兩角和的正弦公式對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行整理，屬于中檔題．