Question

設函數f(x)=sinx-

x

2

的所有正的極大值點從小到大排成的數列為{x_n}
（1）求數列{x_n}的通項公式．
（2）設{x_n}的前n項和為S_n，求tanS_n．

Answer 1

分析：（1）對已知函數求導，然后令f′（x）=0，結合極值的定義可求x_n，
（2）由（1），結合等差數列的求和公式可求s_n，代入結合特殊角的正切函數值可求

解答：解：（1）對已知函數求導可得，f′(x)=cosx-

1

2

令cosx-

1

2

=0可得cosx=

1

2

∴x=2kπ±

1

3

π（k∈z）
由x_n是f（x）的第n個極大值點知，xn=2(n-1)π+

1

3

π
（2）由（1）可知，s_n=2π[1+2+…+(n-1)]+

1

3

nπ
=n(n-1)π+

1

3

nπ
∴tans_n=tan[n（n-1）π+

1

3

nπ]
=tan

1

3

nπ
當n=3m-2（m∈N^*）時，tans_n=tan

3m-2

3

π=

3

當n=3m-1（m∈N^*）時，tans_n=tan

3m-1

3

π=-

3

當n=3m（m∈N^*）時，tans_n=tan

3m

3

π=0
綜上可得，

3 ，n=3m-2 - 3 ，n=3m-1 0，  n=3m

點評：本題以函數的導數的求解為載體主要考查了等差數列的求和公式，特殊角的三角函數值的求解等知識的綜合應用