Question

已知函數f(x)=

sinx+cosx

sinxcosx

，在下列給出結論中：
①π是f（x）的一個周期；
②f（x）的圖象關于直線x=

π

4

對稱；
③f（x）在(-

π

2

，0)上單調遞減．
其中，正確結論的個數為（　　）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個

Answer 1

分析：①將x換為x+π，計算得到結果看與f（x）相等與否即可做出判斷；
②驗證f（x）是否等于f（

π

2

-x），即可做出判斷；
③設t=sinx+cosx，可得sinxcosx=

t2-1

2

，由x的范圍求出t的范圍，得出函數增減性，判斷即可．

解答：解：①f（x+π）=

sin(π+x)+cos(π+x)

sin(π+x)cos(π+x)

=-

sinx+cosx

sinxcosx

≠f（x），π不是f（x）的一個周期，本選項錯誤；
②∵f（

π

2

-x）=

sin( π 2 -x)+cos( π 2 -x)

sin( π 2 -x)cos( π 2 -x)

=

cosx+sinx

cosxsinx

=f（x），∴f（x）圖象關于直線x=

π

4

對稱，本選項正確，
③設t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），可得sinxcosx=

t2-1

2

，
∴f（x）=

2t

t2-1

，
∵-

π

2

＜x＜0，
∴-

π

4

＜x+

π

4

＜

π

4

，即-1＜t＜1，
在（-1，1）上任取兩實數x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

x12-1

-

2x2

x22-1

=

2(x1x2+1)(x2-x1)

(x1+1)(x1-1)(x2+1)(x2-1)

，
因為-1＜x₁＜x₂＜1，所以-1＜x₁•x₂＜1，x₁•x₂+1＞0，
x₂-x₁＞0，x₁+1＞0，x₁-1＜0，x₂+1＞0，x₂-1＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以

2t

t2-1

在（-1，1）上單調遞減，本選項正確，
則正確結論的個數為2個，
故選C

點評：此題考查了三角函數的化簡求值，三角函數的周期性及其求法，正弦函數的單調性，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．