Question

若集合A₁,A₂,…,A_n滿足A₁∪A₂∪…∪A_n=A,則稱A₁,A₂,…,A_n為集合A的一種拆分.已知:
①當(dāng)A₁∪A₂={a₁,a₂,a₃}時(shí),有3³種拆分;
②當(dāng)A₁∪A₂∪A₃={a₁,a₂,a₃,a₄}時(shí),有7⁴種拆分;
③當(dāng)A₁∪A₂∪A₃∪A₄={a₁,a₂,a₃,a₄,a₅}時(shí),有15⁵種拆分;
……
由以上結(jié)論,推測(cè)出一般結(jié)論:
當(dāng)A₁∪A₂∪…∪A_n={a₁,a₂,a₃,…,a_n+1}時(shí),有　　　　種拆分.

Answer 1

(2ⁿ-1)ⁿ⁺¹

因?yàn)楫?dāng)有兩個(gè)集合時(shí),
3³=(4-1)²⁺¹=(2²-1)²⁺¹;當(dāng)有三個(gè)集合時(shí),7⁴=(8-1)³⁺¹=(2³-1)³⁺¹;當(dāng)有四個(gè)集合時(shí),15⁵=(16-1)⁴⁺¹=(2⁴-1)⁴⁺¹;由此可以歸納當(dāng)有n個(gè)集合時(shí),有(2ⁿ-1)ⁿ⁺¹種拆分.