Question

【題目】已知橢圓經過點離心率.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）經過橢圓左焦點的直線(不經過點且不與軸重合)與橢圓交于兩點，與直線:交于點，記直線的斜率分別為.則是否存在常數，使得向量 共線？若存在求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2.

【解析】

（1）根據橢圓經過點，離心率，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、，即可得結果；（2）直線的方程為， 代入橢圓方程整理得，求得的坐標為，求出 ,利用韋達定理化簡可得，從而可得結果.

（1）由在橢圓上， .①

由已知得，

又， .②

②代入①解得.

橢圓的方程為.

（2）假設存在常數，使得向量共線，

，即.

由題意可設的斜率為，

則直線的方程為，③

代入橢圓方程并整理，得，

設，則有

，.④

在方程③中令得，的坐標為.

從而，，.

, ⑤

④代入⑤得，

又， .

故存在常數符合題意.