Question

【題目】設橢圓的右焦點為，右頂點為.已知，其中為原點， 為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程及離心率的值；

（2）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點.若，且，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程為. ;（2）

【解析】試題分析：（1）由橢圓方程可知，由已知得，∴，平方得，所以，又因為，∴，解得，所以，因此.所以，橢圓的方程為. . （2）因為直線過點，設直線的斜率為，由點斜式得直線的方程為，設，把直線的方程為與橢圓方程聯立消去，得，因為2與點B的橫坐標是此方程的兩個根，用根于系數的關系得，代入直線的方程從而得. 由，得，設，求兩向量的坐標。由（1）知， ，得向量坐標， . 所以，解得.因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為，由直線的斜截式得直線的方程為.聯立直線的方程與直線的方程，設，可解得點M的橫坐標，在中，由大邊對大角得，由兩點間的距離公式得，化簡得，即，解不等式可得，或.

試題解析：解：（1）設，∵ ，∴ ，

又，∴ ， ，∴ ，

所以，因此.

所以，橢圓的方程為. .

（2）解：設直線的斜率為，則直線的方程為，設，

由方程組，消去，得，

解得，或，由題意得，從而.

由（1）知， ，設，有， .

由，得，所以，解得.因此直線的方程為.

設，由方程組，消去，解得，在中， ，即，化簡得，即，解得，或.

所以，直線的斜率的取值范圍為.