Question

設函數f_n=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…+（-1）ⁿ

xn

n

，其中n為正整數，則集合M={x|f₄（x）=0，x∈R}中元素個數是（　　）

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、4個

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：先把f₄（x）求出來，求集合M={x|f₄（x）=0，x∈R}中元素個數即為判斷方程f₄（x）=0的根的個數問題，因為是一個四次方程，所以可以通過利用導數研究函數f₄（x）的單調性、極值等，再結合該函數圖象解決問題．

解答： 解：由已知得f₄=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

1

4

x4，
∴f′（x）=x³-x²+x-1=（x-1）（x²+1），
∵當x＜1時，f′（x）＜0，此時原函數是減函數；當x＞1時，f′（x）＞0，此時原函數是增函數，
∴f（x）_min=f（1）=

5

12

，
∴f₄（x）≥

5

12

恒成立，
∴f₄（x）=0，x∈R無實根．
故選A

點評：方程的根的個數及其所在范圍的判斷問題，一般轉化為其所對應的函數的零點問題，往往借助于導數先研究其單調性、極值、最值等涉及圖象要素的性質，再借助于函數的圖象與x軸的位置關系求解．