Question

【題目】如圖，菱ABCD與四邊形BDEF相交于BD，∠ABC=120°，BF⊥平面ABCD，DE∥BF，BF=2DE，AF⊥FC，M為CF的中點，AC∩BD=G．
（I）求證：GM∥平面CDE；
（II）求直線AM與平面ACE成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）取BC的中點N，連接GN，GM，MN．

因為G為菱形對角線的交點，所以G為AC中點，

又N為BC中點，所以GN∥CD，

又因為M，N分別為FC，BC的中點，

所以MN∥FB，又因為DE∥BF，

所以DE∥MN，

又MN∩GN=N，

所以平面GMN∥平面CDE，

又GM平面GMN，

所以GM∥平面CDE．

（Ⅱ）連接GF，設菱形的邊長AB=2，則由∠ABC=120°，得 ，

又因為AF⊥FC，所以 ，

則在直角三角形GBF中， ，所以 ，

以G為坐標原點，分別以GA，GD所在直線為x軸，y軸，建立空間直角坐標系G﹣xyz，

則 ，

則 ，

設 為平面ACE的一個法向量，則 即 ，

令 ，得 ，

又 ，所以 = = = ，

所以直線AM與平面ACE所成角的正弦值為 ．

【解析】（I）取BC的中點N，連接GN，GM，MN．由MN∥BF∥DE，GN∥CD可得平面GMN∥平面CDE，故而GM∥平面CDE；（II）以G為原點，建立空間坐標系，求出平面ACE的法向量 和 的坐標，計算 和 的夾角即可得出結論．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．