Question

【題目】如圖，在多面體ABCDPE中，四邊形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中點．
（1）求證：BF∥平面ADP；
（2）求二面角B﹣DF﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PD中點G，連結GF，AG，

∵AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F是CE的中點，

∴FG AB，∴四邊形ABFG是平行四邊形，∴AG∥BF，

∵AG平面ADP，BF平面ADP，∴BF∥平面ADP

（2）解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，

設PE=1，則B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），C（0，3，0），E（0，1，2），F（0，2，1），

=（2，2，0）， =（0，2，1）， =（0，0，2），

設平面BDF的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣1，2），

設平面PDF的法向量 =（a，b，c），

則 ，取a=1，則 =（1，﹣1，0），

設二面角B﹣DF﹣P的平面角為θ，

則cosθ= = = ．

∴二面角B﹣DF﹣P的余弦值為 ．

【解析】（1）取PD中點G，連結GF，AG，推導出四邊形ABFG是平行四邊形，從而AG∥BF，進而能證明BF∥平面ADP．（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣DF﹣P的余弦值．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．