Question

【題目】春節期間商場為活躍節日氣氛，特舉行“購物有獎”抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為 ，每次中獎可以獲得20元購物代金券，方案乙的中獎率為 ，每次中獎可以獲得30元購物代金券，未中獎則不獲得購物代金券，每次抽獎中獎與否互不影響，已知小明通過購物獲得了2次抽獎機會．
（1）若小明選擇方案甲、乙各抽獎一次，記他累計獲得的購物代金券面額之和為X，求X≤30的概率；
（2）設小明兩次抽獎都選擇方案甲或都選擇方案乙，且都選擇方案乙時，已算得，累計獲得的購物代金券面額之和X1的數學期望E（X1）=24，問：小明選擇這兩種方案中的何種方案抽獎，累計獲得的購物代金券面額之和的數學期望較大？

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，甲方案中獎的概率為 ，乙方案中獎的概率為 ，且兩次抽獎中獎與否互不影響，

記“小明累計得分X≤30”的事件為A，則事件A的對立事件是“X=50”，

因為P（X=50）= = ，∴P（A）=1﹣P（X=50）= ．

即他的累計得分x≤30的概率為

（2）解：設小明兩次都選擇甲方案抽獎中獎次數為X2，小明兩次都選擇方案乙抽獎中獎次數為X1，則這兩人都選擇甲方案抽獎累計得分的數學期望為E（20X2），都選擇乙方案抽獎累計得分的數學期望為E（30X1）．

由已知可得，X2～B（2， ），X1～B（2， ），

∴E（X2）=2× = ，E（X1）=2× = ，

從而E（20X2）=20E（X2）= ，E（30X1）=30E（X1）= =24，

由于E（20X2）＞E（30X1），

∴他們選擇甲方案抽獎，累計得分的數學期望較大

【解析】（1）記“小明累計得分X≤30”的事件為A，則事件A的對立事件是“X=50”，由P（X=50）= ，可得P（A）=1﹣P（X=50）．（2）設小明兩次都選擇甲方案抽獎中獎次數為X2 ， 小明兩次都選擇方案乙抽獎中獎次數為X1 ， 則這兩人都選擇甲方案抽獎累計得分的數學期望為E（20X2），都選擇乙方案抽獎累計得分的數學期望為E（30X1）．由已知可得，X2～B（2， ），X1～B（2， ），即可得出．