Question

【題目】已知函數f (x)＝lg(ax2＋2x＋1) ．

(1)若函數f (x)的定義域為R，求實數a的取值范圍；

(2)若函數f (x)的值域為R，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (1，＋∞) (2) [0，1]

【解析】

試題分析：(1)定義域為R轉化為不等式ax2＋2x＋1＞0對x∈R恒成立，結合二次函數性質可求解a的取值范圍；(2)由值域是全體實數可知對數的真數可以取到所有的正數，進而轉化為一次函數二次函數求解a的取值范圍

試題解析：(1)欲使函數f(x)的定義域為R，只須ax2＋2x＋1＞0對x∈R恒成立，所以有，解得a＞1，即得a 的取值范圍是(1，＋∞)；

(2)欲使函數 f (x)的值域為R，即要ax2＋2x＋1 能夠取到(0，＋∞) 的所有值．

①當a＝0時，a x 2＋2x＋1＝2x＋1，當x∈(－，＋∞)時滿足要求；

②當a≠0時，應有 0＜a≤1．當x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)時滿足要求(其中x1，x2是方程ax 2＋2x＋1＝0的二根)．

綜上，a的取值范圍是[0，1]．