Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為1的正方形，側棱PD＝1，PA＝PC＝.

（1）求證：PD⊥平面ABCD；

（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意及圖形利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）由（1）可得PD⊥AC，又四邊形ABCD為正方形，所以AC⊥BD，由線面垂直的判定定理得到AC⊥平面PBD，進一步利用面面垂直的判斷證明；

試題解析：（1）∵PD＝1，DC＝1，PC＝，

∴PC2＝PD2＋DC2，

∴PD⊥DC．

同理可證PD⊥AD，又AD∩DC＝D，

∴PD⊥平面ABCD．

（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，

∴PD⊥AC，而四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，

∴AC⊥平面PDB．

同時，AC平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PBD．