Question

【題目】某山區外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進一步改善山區的交通現狀，計劃修建一條連接兩條公路和山區邊界的直線型公路．記兩條相互垂直的公路為，山區邊界曲線為．計劃修建的公路為，如圖所示，為的兩個端點，測得點到的距離分別為5千米和40千米，點到的距離分別為20千米和2．5千米，以所在直線分別為軸，建立平面直角坐標系．假設曲線符合函數（其中為常數）模型．

（1）求的值；

（2）設公路與曲線相切于點，的橫坐標為．

①請寫出公路長度的函數解析式，并寫出其定義域；

②當為何值時，公路的長度最短？求出最短長度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②當時，公路的長度最短，最短長度為千米．

【解析】

試題分析：（1）由題意得分別為

；（2）①由（1）知 ，求導得

；；

②設，令，利用導數工具可得：當時，函數有極小值，也是最小值，所以，此時．

試題解析：

（1）由題意知，點的坐標分別為．

將其分別代入，得，解得．

（2）①由（1）知，，則點的坐標為，

設在點處的切線交軸分別交于點，，

則的方程為，由此得．

故

②設，則，令，解得．

當時，，是減函數；

當時，是增函數．

從而，當時，函數有極小值，也是最小值，所以，

此時，

答：當時，公路的長度最短，最短長度為千米