Question

【題目】如圖,三棱柱中,側面為菱形且, , 分別為和的中點, , , ．

（Ⅰ）證明：直線∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（I）見解析;（II）．

【解析】試題分析：（I）取中點，可證， ， 兩兩互相垂直，建立以為原點， 分別為軸，建立空間直角坐標系，得出各點坐標，可求與平面的法向量，利用兩向量垂直可證結論；（II）先求出二面角兩半平面的法向量，利用法向量夾角與二面角平面角間關系可得結果．　

試題解析：解法一：∵，且為中點， ，∴，

又 ， ，∴ ， ，

又 ，∴平面，

取中點，則，即， ， 兩兩互相垂直，

以為原點， 分別為軸，建立空間直角坐標系如圖（4）， ∴， ， ， ， ， ，

（I） ，設平面的法向量為 ，

則，取，

∵，∴，

又平面， ∴直線∥平面．

（II） 設平面的法向量為， ，

則 ，取，

又由（Ⅰ）知平面的法向量為，設二面角為，

∴，

∵ 二面角為銳角，∴ 二面角的余弦值為．

解法二：取中點，則，即，以為原點， ， 分別為軸，

建立空間直角坐標系如圖（5），設點，

又， ，

∴，即，∴ ，

由 ， ， 可得：

，解得，

∴， ， ，

下同解法二．

解法三：（Ⅰ）如圖（6），取中點，連接，則有，

∴為平行四邊形， ∴∥，

又平面， 平面，∴ 直線∥平面．

（Ⅱ）由各棱長，易得，∴平面，

取中點，連接，過作于，連接，

如圖（8），可證： 平面，

證明平面，可得，

故為所求的二面角的平面角，

在中，求得： ，故所求的二面角的余弦值為．

解法四：

（Ⅰ）如圖（7），取中點，由∥，

平面，∴ 直線∥平面，

由∥， 平面，

∴ 直線∥平面，

又，∴平面∥平面，

又平面， ∴ 直線∥平面．

（Ⅱ）同解法一．