Question

【題目】如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E為PB的中點.

(1)求證：AE//平面PDC；

(2)若BC＝CD＝PD，求直線AC與平面PBC所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點，連結、，推導出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面．

（2）推導出，由，得，再推導出，，從而平面，，，，進而平面，連結，，則就是直線與平面所成角，由此能求出直線與平面所成角的余弦值．

解：（1）證明：取的中點，連結、，

是的中點，，且，

，，，且，

四邊形是平行四邊形，，

又平面，平面．

（2）解：，是等腰三角形，

，又，，

平面，平面，

，又，平面，

平面，，，

又，平面，

連結，，則就是直線與平面所成角，

設，

在中，解得，，，

在中，解得，

在中，，

直線與平面所成角的余弦值為．