Question

在平面xoy中，不等式x²+y²≤4確定的平面區域為U，不等式組

x-y≥0 x+y≥0

確定的平面區域為V．
（Ⅰ）定義橫、縱坐標為整數的點為“整點”，在區域U中任取3個“整點”，求這些“整點”恰好有兩個“整點”落在區域V中的概率；
（Ⅱ）在區域U中每次任取一個點，若所取的點落在區域V中，稱試驗成功，否則稱試驗失敗．現進行取點試驗，到成功了4次為止，求在此之前共有三次失敗，且恰有兩次連續失敗的概率．

Answer 1

（Ⅰ）平面區域U中的整點為：（2，0），（-1，1），（1，0），（1，1），（0，1），（0，2），（0，0），
（-1，0），（-2，0），（0，-2），（-1，-1），（0，-1），（1，-1）共13個；
平面區域V中的整點為：（0，0），（1，0），（2，0），（1，1），（1-1）共5個．
記“在區域U中任取3個“整點”，這些“整點”恰好有兩個“整點”落在區域V中”為事件A．
則P(A)=

C 25 C 18

C 313

=

40

143

．
（Ⅱ）平面區域為V的面積為SV=

1

2

×

π

2

×22=π，平面區域為U的面積為SU=π×22=4π．
所以在區域U中每次任取一點，落在區域V中的概率為

π

4π

=

1

4

．
由題意得，記“到成功了4次為止，在此之前共有三次失敗，且恰有兩次連續失敗”為事件A，
則P(A)=

A

24

(

1

4

)3(1-

1

4

)3×

1

4

=

81

4096

．