Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．

（1）若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

（1）分，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

（2）由（1）可知時(shí)，存在，易得．

令，．．利用導(dǎo)數(shù)可證明．

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，只有一個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)時(shí)，．

①當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，

∴在遞增，在遞減．

又，，

取，且，則．

故恰有兩個(gè)零點(diǎn)．

②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故需時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．

令，得，或，

若，則，故當(dāng)時(shí)，，在遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)．

若，則，故當(dāng)時(shí)，，在遞減，，

時(shí)，，單調(diào)遞增，故不存在兩個(gè)零點(diǎn)．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（2）由（1）可知時(shí)，存在，且，，，

又在遞增，

∴．

令，．

．

∴在遞增．即，

．

∵，，又在遞增，

∴，即．