Question

【題目】已知函數，（其中），.

（1）若對定義域內的任意實數x恒成立，求實數a的取值范圍；

（2）若有兩個極值點，，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由整理可得,設,利用導函數求得的最小值,即可求解；

（2）先對求導,轉化問題為方程有兩個正根,,且,可得,解得,再由韋達定理可得,解得,則可整理,設,進而求得的范圍即可.

（1）因為,即,

所以,

令,則,

令，則為上的增函數，

又，故時，；時，，

所以當時,；當時,,

在上單調遞減,在上單調遞增,

當時,的極小值為1,

因為,所以,

即a的取值范圍是.

（2）,

則,

因為有兩個極值點,,且,

則方程有兩個正根,,且,

所以,解得,

由,得,即,

所以

,

設,

則,所以在上為減函數,

所以,所以取值范圍是