Question

【題目】已知橢圓的左焦點為，點為橢圓的左、右頂點，點是橢圓上一點，且直線的傾斜角為，，已知橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設為橢圓上異于的兩點，若直線的斜率等于直線斜率的倍，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據離心率可求得，利用橢圓定義和余弦定理可構造方程求得，進而確定，由此得到橢圓方程；

（2）設方程為，將直線與橢圓方程聯立，可結合韋達定理求得點坐標，同理可得點坐標，由整理可得關于的函數的形式，利用對號函數可求得的最大值.

（1）橢圓的離心率，，

設橢圓右焦點為，連接，則，

在中，由余弦定理得：，

即，又 解得：，，，橢圓的方程為.

（2）由（1）知：，，

設直線斜率為，則直線方程為，

由得：，

則，

設，則，，，，

由可得直線方程為，

同理可求得：，

由對稱性，不妨設，則四邊形的面積：

，

令，則（當且僅當，即時取等號），

，的最大值為.