Question

【題目】已知圓O：x2+y2=16及圓內一點F（﹣3，0），過F任作一條弦AB．
（1）求△AOB面積的最大值及取得最大值時直線AB的方程；
（2）若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內角平方線，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：設∠AOB=θ，則 ，

當 時，S△AOBmax=8，此時O到AB的距離為 ， ，

∴S△AOBmax=8，直線AB的方程為

（2）解：當直線AB斜率不存在時，MF始終平分∠AMB．

當直線AB斜率存在時，設直線AB：y=k（x+3），（k≠0），設M（m，0），

由 得：（1+k2）x2+6k2x+（9k2﹣16）=0

設A（x1，y1），B（x2，y2），則 ， ．

∵∠BMF=∠AMF，

∴kBM+kAM=0， ，

∴（x1+3）（x2﹣m）+（x2+3）（x1﹣m）=0，

∴2x1x2+（3﹣m）（x1+x2）﹣6m=0，

∴ ，

∴﹣32﹣6m=0， ，

∴

【解析】（1）設∠AOB=θ，則 ，即可求△AOB面積的最大值及取得最大值時直線AB的方程；（2）分類討論，由 得：（1+k2）x2+6k2x+（9k2﹣16）=0，利用∠BMF=∠AMF，kBM+kAM=0，即可得出結論．