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已知橢圓的離心率為,直線與以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,是橢圓的頂點,是橢圓上除頂點外的任意點,直線軸于點,直線于點,設的斜率為的斜率為,求證:為定值.
(1)橢圓的方程為;(2)詳見解析.

試題分析:(1)先根據題中條件求出,進而可以求出橢圓的方程;(2)先由直線的方程與橢圓的方程聯立求出點的坐標,然后由三點共線,利用平面向量共線進行等價轉化,求出點的坐標,于是得到直線的斜率,最終證明為定值.
試題解析:(1)由直線與圓
,得,所以
所以橢圓的方程為
(2)因為不為橢圓定點,即的方程為,①②
將①代入,解得
又直線的方程為, ②
三點共線可得
所以的斜率為,則(定值).
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓經過點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設為橢圓上的動點,求的最大值.

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已知橢圓C的中心在坐標原點,焦點在x軸上,左、右焦瞇分別為F1,F2,且|F1F2|=2,點P(1,)在橢圓C上.
(I)求橢圓C的方程;
(II)過F1的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,且的面積為,求直線l的方程.

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(1)寫出的方程;
(2)若點在第一象限,證明當時,恒有.

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設F1,F2是橢圓C:的兩個焦點,若在C上存在一點P,使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,則C的離心率為_____________.

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已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合,它們在第一象限內的交點為,且軸垂直,則橢圓的離心率為(  )
A.B.C.D.

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過橢圓的左焦點作互相垂直的兩條直線,分別交橢圓于四點,則四邊形面積的最小值為(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:單選題

橢圓的離心率為,則k的值為(    )
A.-21B.21C.或21D.或21

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

為橢圓上一點,為兩焦點,,則橢圓的離心率        .

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同步練習冊答案
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