Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，，∠BAD＝∠CDA＝90°，．

（1）求證：平面PAD⊥平面PBC；

（2）求直線PB與平面PAD所成的角；

（3）在棱PC上是否存在一點E使得直線平面PAD，若存在求PE的長，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）； （3）存在為中點,即 滿足條件.

【解析】

（1）先證平面；

（2）作出直線PB與平面PAD所成的角，再求出角的正切值，從而可得角；

（3）先假設存在，確定點的位置，再求出長度.

證明(1)因為∠BAD＝∠CDA＝90°，

所以,四邊形為直角梯形,

又滿足

又

又 ,

,

所以平面PAD⊥平面PBC.

(2)取CD的中點H，連接BH,PH,作 于，如圖，

在四邊形ABCD中，，∠BAD＝∠CDA＝90°，

所以為正方形，所以；

因為平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD 平面ABCD=CD，所以平面；

所以.

因為，所以；

在直角三角形中，，所以.

又，所以平面，所以到平面的距離等于；

設直線PB與平面PAD所成的角為，則，即直線PB與平面PAD所成的角為.

(3)存在為中點,即 滿足條件,證明如下：取中點，連接.如圖，

因為分別是的中點，所以且.

所以且，即為平行四邊形，所以;

因為平面，平面，所以平面.此時.