Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于A,B，過與垂直的直線與橢圓交于，，與交于，求證：直線，，的斜率，，成等差數列．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意知，得圓與直線相切，利用圓心到直線的距離d=r求b,再求a,c,則方程可求；（Ⅱ）設直線的方程為與橢圓聯立消y,得韋達定理，再設 直線的方程為，得P坐標，將坐標化代入韋達定理，整理即可證明

（1）由題意知，所以，即，

又因為以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓，

與直線相切，所以圓心到直線的距離d，所以，，

故橢圓的方程為．

（2）由題意知直線的斜率存在且不為0，則直線的方程為．

由得．

設點，，利用根與系數的關系得，，

由題意知直線的斜率為，則直線的方程為

令，得點的坐標

即，所以成等差數列；