Question

【題目】已知函數是定義在上的偶函數，其導函數為，且當時，，則不等式的解集為_______.

Answer 1

【答案】

【解析】

構造函數F（x）=x2f（x），結合題意，得出F（x）在（-∞，0）是增函數，原不等式等價為 ,結合函數的單調性和奇偶性求解即可.

已知2f（x）+xf′（x）＜0，x＜0；則2xf（x）+x2f′（x）＞0，

即[x2f（x）]′＞0；令F（x）=x2f（x），

則當x＜0時，＞0，即F（x）在（-∞，0）上是增函數，

∵F（x-2018）=（x-2018）2f（x-2018），F（-1）=f（-1），

∴不等式等價為F（x-2018）-F（-1）＜0，

∵偶函數f（x）是定義在R上的可導函數，f（-x）=f（x），∴F（-x）=F（x），

∵F（x）在（-∞，0）是增函數，∴F（x）在（0，+∞）是減函數，

由F（2018-x）=F（x-2018）＜F（-1）=F（1）得，|x-2018|＞1，

解得x＞2019或x＜2017．

故填：{x|x＜2017或x＞2019}．