Question

【題目】根據國家環保部新修訂的《 環境空氣質量標準》規定：居民區的年平均濃度不得超過微克/立方米，的小時平均濃度不得超過微克/立方米.我市環保局隨機抽取了一居民區年天的小時平均濃度（單位：微克/立方米）的監測數據，數據統計如下表：

組別	濃度（微克/立方米）	頻數（天）	頻率
第一組
第二組
第三組
第四組

（1）這天的測量結果按上表中分組方法繪制成的樣本頻率分布直方圖如圖.

①求圖中的值；

②求樣本平均數，并根據樣本估計總體的思想，從的年平均濃度考慮，判斷該居民區的環境質量是否需要改善？并說明理由；

（2）將頻率視為概率，對于年的某天，記這天中該居民區的小時平均濃度符合環境空氣質量標準的天數為，求的分布列和數學期望.

Answer 1

【答案】（1）①；②需要改進，理由見解析；（2）分布列見解析，.

【解析】

（1）①根據頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；

②根據頻率直方圖計算出年該居民區年平均濃度，與作大小比較，由此可得出結論；

（2）由題意可知，進而可得出隨機變量的分布列，由此可計算得出隨機變量的數學期望值.

（1）①在頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為，

則，解得；

②年該居民區年平均濃度為（微克/立方米），

因為，所以年該居民區年平均濃度不符合環境空氣質量標準，故該居民區的環境需要改進；

（2）由題意，的小時平均濃度符合環境空氣質量標準的概率為，

的可能取值為、、、，且，

，，，.

所以，隨機變量的分布列如下表所示：

所以，隨機變量的數學期望為.