【題目】已知函數
（
為自然對數的底數）.
（1）求函數
的零點
，以及曲線
在
處的切線方程；
（2）設方程
（
）有兩個實數根
，
，求證：
.
【答案】（1）
，
（2）證明見解析
【解析】
（1）由
求得函數零點，由導數的幾何意義可求得切線方程；
（2）根據導函數研究出函數的單調性，只有在
時，
，因此
，考查（1）中切線，先證明
（），只要構造函數
在
上單調遞增，易得證，方程
的解為
，
（不妨設
，則
），要證不等式變形為證明
，即證
，由
，
，構造函數，結合導數知識可證．
（1）由
，得
，∴函數的零點是
.
，
，
.
曲線
在
處的切線方程為
.
，
，
∴曲線在
處的切線方程為
（2）.
當
時，
；當
時，
.
∴
的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
.
由（1）知，當
或
時，
；當時，
.
下面證明：當
時，
.
當時，
.
易知，在上單調遞增，
而
，
∴
對
恒成立，
∴當時，.
由
得
.記
.
不妨設，則，
∴
.
要證
，只要證，即證.
又∵，∴只要證，即
.
∵
，即證
.
令
.
當
時，
，
為單調遞減函數；
當
時，
，為單調遞增函數.
∴
，∴，
∴
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝
，∠BAD＝120°.
(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；
(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸的建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線
的普通方程；
（2）若點
與點
分別為曲線動點，求
的最小值，并求此時的點坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數），在以坐標原點為極點，
軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
的方程為
.
（1）求曲線的直角坐標方程；
（2）設曲線與直線交于點
，點
的坐標為（3，1），求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點．
（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；
（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點，Q為棱BB1上的點，且BQ＝λBB1(λ≠0)．
（1）若λ＝
，求AP與AQ所成角的余弦值；
（2）若直線AA1與平面APQ所成的角為45°，求實數λ的值．
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