Question

【題目】如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.

(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；

(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．

Answer 1

【答案】(1) ．(2) ．

【解析】試題分析：（1）先根據條件建立空間直角坐標系，進而得相關點的坐標，求出直線A1B與AC1的方向向量，根據向量數量積求出方向向量夾角，最后根據異面直線所成角與方向向量夾角之間相等或互補可得夾角的余弦值；（2）根據建立的空間直角坐標系，得相關點的坐標，求出各半平面的法向量，根據向量數量積求出法向量的夾角，最后根據二面角與法向量夾角之間關系確定二面角的正弦值．

試題解析：解：在平面ABCD內，過點A作AEAD，交BC于點E.

因為AA1平面ABCD，

所以AA1AE，AA1AD.

如圖，以為正交基底，建立空間直角坐標系A-xyz.

因為AB=AD=2，AA1=， .

則.

(1) ，

則.

因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為.

(2)平面A1DA的一個法向量為.

設為平面BA1D的一個法向量，

又，

則即

不妨取x=3，則，

所以為平面BA1D的一個法向量，

從而,

設二面角B-A1D-A的大小為，則.

因為，所以.

因此二面角B-A1D-A的正弦值為.

點睛:利用法向量求解空間線面角、面面角的關鍵在于“四破”：①破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；②破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；③破“求法向量關”，求出平面的法向量；④破“應用公式關”．