Question

【題目】如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點(diǎn)P，Q分別為A1B1，BC的中點(diǎn)．

（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；

（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積求得向量的夾角，再根據(jù)向量夾角與異面直線所成角的關(guān)系得結(jié)果；（2）利用平面的方向量的求法列方程組解得平面的一個法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積得向量夾角，最后根據(jù)線面角與所求向量夾角之間的關(guān)系得結(jié)果.

詳解：如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，設(shè)AC，A1C1的中點(diǎn)分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以為基底，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz．

因為AB=AA1=2，

所以．

（1）因為P為A1B1的中點(diǎn)，所以，

從而，

故．

因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為．

（2）因為Q為BC的中點(diǎn)，所以，

因此，．

設(shè)n=（x，y，z）為平面AQC1的一個法向量，

則即

不妨取，

設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為，

則，

所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為．