Question

【題目】如圖，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P為棱C1D1的中點，Q為棱BB1上的點，且BQ＝λBB1(λ≠0)．

（1）若λ＝，求AP與AQ所成角的余弦值；

（2）若直線AA1與平面APQ所成的角為45°，求實數λ的值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）λ＝.

【解析】

（1）先根據題意建立空間直角坐標系，求得向量和向量的坐標，再利用線線角的向量方法求解.

（2）由BQ＝λBB1，表示＝(2，0，2λ) ，從而得到平面APQ的一個法向量＝(2λ，2－λ，－2)，再根據直線AA1與平面APQ所成角為45°，由|cos〈，〉|＝＝＝求解.

（1）以為正交基底，建立如圖所示空間直角坐標系Axyz.

因為＝(1，2，2)，＝(2，0，1)，

所以cos〈，〉＝＝＝.

所以AP與AQ所成角的余弦值為.

（2） 由題意可知，＝(0，0，2)，＝(2，0，2λ)．

設平面APQ的法向量為＝(x,y,z)，

則即

令z＝－2，則x＝2λ，y＝2－λ.

所以＝(2λ，2－λ，－2)．

又因為直線AA1與平面APQ所成角為45°，

所以|cos〈，〉|＝

＝＝，

可得5λ2－4λ＝0，

又因為λ≠0，所以λ＝