Question

設函數f（x）=x²-ax+2lnx，其中a＞0
（1）當a＜4時，判斷函數f（x）的單調性；
（2）當a=5時，求函數f（x）的極值；
（3）證明：當x≥1時，x²+2lnx≥3x-2．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出導數f′（x），當a＜4時，判斷出f′（x）符號即可．
（2）當a=5時，先解f′（x）=0，再判斷根左右兩側導數的符號變化，由此即可得出答案．
（3）當x≥1時，x²+2lnx≥3x-2可變為x²+2lnx-3x≥-2，從而問題可轉化為求當a=3時f（x）在[1，+∞）的最小值問題．
解答：解：定義域為：（0，+∞），
（1）．
因為x＞0，所以≥=4，
又a＜4，所以f'（x）＞0，
故當a＜4時，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（2）當a=5時，f′（x）=2x-5+==，
令f′（x）=0，得或x=2．
當時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
當時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減；
當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增；
由上可知，當時，f（x）取極大值f（）=；
當x=2時，f（x）取極小值f（2）=2ln2-6．
（3）即證：當x≥1時，x²+2lnx-3x≥-2，
由（1）知，當a=3時，f（x）=x²+2lnx-3x在（0，+∞）上是增函數，
僅當x=1時，f（x）在區間[1，+∞）上有最小值f（1）=-2，所以當x≥1時，x²+2lnx-3x≥-2成立，
即x²+2lnx≥3x-2．
點評：本題考查了導數的綜合應用：用導數研究函數的單調性、極值、最值問題，要深刻理解導數在研究函數中的作用．