Question

【題目】（本小題滿分14分）

已知函數（為常數）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為.

（1）求的值及函數的極值；

（2）證明：當時，

（3）證明：對任意給定的正數，總存在，使得當時，恒有

Answer 1

【答案】（1）當時，有極小值，無極大值.

（2）見解析.（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）由，得.

從而.

令，得駐點.討論可知：

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

當時，有極小值，無極大值.

（2）令，則.

根據，知在R上單調遞增，又，

當時，由，即得.

（3）思路一：對任意給定的正數c，取，

根據.得到當時，.

思路二：令，轉化得到只需成立.

分，，應用導數研究的單調性.

思路三：就①，②，加以討論.

試題解析：解法一：

（1）由，得.

又，得.

所以，.

令，得.

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

所以當時，有極小值，

且極小值為，

無極大值.

（2）令，則.

由（1）得，，即.

所以在R上單調遞增，又，

所以當時，，即.

（3）對任意給定的正數c，取，

由（2）知，當時，.

所以當時，，即.

因此，對任意給定的正數c，總存在，當時，恒有.

解法二：（1）同解法一.

（2）同解法一.

（3）令，要使不等式成立，只要成立.

而要使成立，則只需，即成立.

①若，則，易知當時，成立.

即對任意，取，當時，恒有.

②若，令，則，

所以當時，，在內單調遞增.

取，

，

易知，，所以.

因此對任意，取，當時，恒有.

綜上，對任意給定的正數c，總存在，當時，恒有.

解法三：（1）同解法一.

（2）同解法一.

（3）①若，取，

由（2）的證明過程知，，

所以當時，有，即.

②若，

令，則，

令得.

當時，，單調遞增.

取，

，

易知，又在內單調遞增，

所以當時，恒有，即.

綜上，對任意給定的正數c，總存在，當時，恒有.