Question

【題目】四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,側(cè)面底面,, , 是中點(diǎn),點(diǎn)在側(cè)棱上.

（Ⅰ）求證: ;

（Ⅱ）若是中點(diǎn),求二面角的余弦值;

（Ⅲ）是否存在,使平面?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.（Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）證明AD⊥平面POB，即可證明AD⊥PB；（Ⅱ）證明PO⊥底面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面DEQ的法向量，平面DQC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論；（Ⅲ）求出平面DEQ法向量，利用PA∥平面DEQ，即，從而可得結(jié)論．

解析：

（Ⅰ）取中點(diǎn),連接.

因?yàn)?/span>,所以.

因?yàn)榱庑?/span>中, ,所以.

所以.

因?yàn)?/span>,且平面,所以平面.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,

因?yàn)閭?cè)面底面,且平面底面,所以底面.

以為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系.

則,因?yàn)?/span>為中點(diǎn),所以.

所以,所以平面的法向量為.

因?yàn)?/span>,設(shè)平面的法向量為,

則,即.

令,則,即.

所以.

由圖可知,二面角為銳角,所以余弦值為.

（Ⅲ）設(shè)

由（Ⅱ）可知.

設(shè),則,

又因?yàn)?/span>,所以,即.

所以在平面中, ,

所以平面的法向量為,

又因?yàn)?/span>平面,所以,

即,解得.

所以當(dāng)時(shí), 平面.