Question

【題目】在直角坐標系中，設橢圓的左焦點為,短軸的兩個端點分別為，且，點在上.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)若直線與橢圓和圓分別相切于,兩點，當面積取得最大值時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .

【解析】

(Ⅰ) 由，可得；由橢圓經過點，得，求出后可得橢圓的方程．

(Ⅱ)將直線方程與橢圓方程聯立消元后根據判別式為零可得，解方程可得切點坐標為，再根據直線和圓相切得到，然后根據在直角三角形中求出，進而得到，將代入后消去再用基本不等式可得當三角形面積最大時，于是可得，于是直線方程可求．

(Ⅰ)由，可得，①

由橢圓經過點，得，②

由①②得，

所以橢圓的方程為．

(Ⅱ)由消去整理得（*），

由直線與橢圓相切得，

，

整理得，

故方程（*）化為，即，

解得，

設，則，故，

因此．

又直線與圓相切，可得．

所以，

所以，

將式代入上式可得

，

由得，

所以，當且僅當時等號成立，即時取得最大值．

由，得，

所以直線的方程為．