Question

【題目】已知函數 .

（1）若函數在上是增函數，求正數的取值范圍；

（2）當時，設函數的圖象與x軸的交點為，，曲線在，兩點處的切線斜率分別為，，求證：+ .

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（1）由題意，求得函數的導數，設，分離參數轉化為在上恒成立，設，利用導數求得函數的單調性，得到函數的最值，即可得到實數的取值范圍；

（2）由，得，，不妨設，利用導數求得兩點的斜率，得到+ ，設，利用導數求得函數的單調性與最大值，即可作出證明.

（1） ，∴，

設，

函數在上是增函數，∴ 在上恒成立，即在上恒成立，

設，則，

，∴，∴在上是增函數，

∴，由在上恒成立，得， ，

∴，即的取值范圍是.

（2） ，由，得，，不妨設.

，，， + ，

設，則，時，，時，，所以為的極大值點，所以的極大值即最大值為，即，

∵且，∴且，

∴，∴+ .