Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，E是PB的中點(diǎn)，AB=2AD=2CD=2，且二面角P-AC-E的大小為

π

4

．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱錐C-ABE高的大小．
（Ⅲ）求直線PA與平面ACE所成角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由線面垂直得AC⊥PC，由勾股定理得AC⊥BC，由此能證明AC⊥平面PBC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC為三棱錐A-BCE的高，二面角P-AC-E的平面角為∠PCE=

π

4

，從而△PBC為等腰直角三角形，設(shè)三棱錐C-ABE的高為h，利用等積法能求出三棱錐C-ABE的高．
（Ⅲ）由已知條件得PB⊥AE，PB⊥CE，從而PB⊥平面ACE，進(jìn)而直線PA與平面ACE所成的角為∠PAE，由此能求出直線PA與平面ACE所成角的大小．

解答： （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：∵PC⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=

2

，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，則AC為三棱錐A-BCE的高，
且二面角P-AC-E的平面角為∠PCE=

π

4

∵PC⊥BC，E是PB的中點(diǎn)，∴△PBC為等腰直角三角形，
則S△BCE=

1

2

S△PBC=

1

2

，
∵Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ABC，PA=PB=AB=2，
則S△ABE=

1

2

S△PAB=

3

2

，
設(shè)三棱錐C-ABE的高為h，
則

1

3

S△ABE•h=

1

3

S△BCE•AC⇒

1

3

•

3

2

•h=

1

3

•

1

2

•

2

⇒h=

6

3

故三棱錐C-ABE的高等于

6

3

．
（Ⅲ）解：∵△PAB是正三角形，
△PBC為等腰直角三角形，且E是PB的中點(diǎn)
∴PB⊥AE，PB⊥CE，且AE∩CE=E，
∴PB⊥平面ACE
則直線PA與平面ACE所成的角為∠PAE，
∵PA=PB=AB=2，E是PB的中點(diǎn)，∴∠PAE=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的高的求法，考查角的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．