Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，已知中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線C的離心率為 ，且雙曲線C與斜率為2的直線l相交，且其中一個交點為P（﹣3，0）．
（1）求雙曲線C的方程及它的漸近線方程；
（2）求以直線l與坐標軸的交點為焦點的拋物線的標準方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，設雙曲線的方程為 ．

∵點P（﹣3，0）在雙曲線上，∴a=3．

∵雙曲線C的離心率為： ，∴ ．∵c2=a2+b2，∴b=3．

∴雙曲線的方程為： ，

其漸近線方程為：y=±x

（2）解：由題意，直線l的方程為y=2（x+3），即y=2x+6，

直線l與坐標軸交點分別為F1（﹣3，0），F2（0，6）．

∴以F1（﹣2，0）為焦點的拋物線的標準方程為y2=﹣12x

以F2（0，4）為焦點的拋物線的標準方程為x2=24y

【解析】（1）根據點在雙曲線上可得a=3，再根據雙曲線的離心率可求出 c的值，利用c2=a2+b2，可求出b=3進而求出雙曲線的方程，故得漸近線方程。（2）求出直線l與坐標軸的交點F1、F2，進而得到拋物線的方程有兩個。
【考點精析】認真審題，首先需要了解拋物線的定義(平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡稱為拋物線．定點稱為拋物線的焦點，定直線稱為拋物線的準線)．