Question

【題目】如圖，已知在多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2AB，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)．

（1）求直線AF與平面ACD所成的角；
（2）求證：平面BCE⊥平面DCE．

Answer 1

【答案】
（1）解：取CD的中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)G，

則FG是△CDE的中位線，

∴FG∥DE，

又∵DE⊥平面ACD，

∴FG⊥平面ACD，

∴∠AFG為直線AF與平面ACD所成的角，

設(shè)AC=AD=CD=DE=2AB=2，

則FG= DE=1，AG= ，

∴tan∠AFG= = ，

∴∠AFG=60°，即直線AF與平面ACD所成的角為60°

（2）證明：∵AB⊥平面ACD，

∴AB⊥AC，AB⊥AD，AB⊥AG，

設(shè)AC=AD=CD=DE=2AB=2，

在直角梯形ABED中，BE= = ，BC= = ，

∴BC=BE，又F是CE的中點(diǎn)，

∴BF⊥CE，

∵AB DE，F(xiàn)G DE，

∴AB FG，

∴四邊形ABFG是平行四邊形，

又AB⊥AG，

∴四邊形ABFG是矩形，

∴BF⊥FG，

又CE∩FG=F，

∴BF⊥平面CDE，

又BF平面BCE，

∴平面BCE⊥平面DCE．

【解析】（1）求線面角關(guān)鍵是求面的垂線，因此取CD的中點(diǎn)G，則FG∥DE，F(xiàn)G⊥平面ACD，所以∠AFG為直線AF與平面ACD所成的角，再放到平面三角形AGF中，即可；
（2）要證明面面垂直關(guān)鍵是線面垂直，因此只需證明BF⊥平面CDE，根據(jù)邊的的關(guān)系可得三角形BCE是等腰三角形，則BF⊥CE；再根據(jù)四邊形ABFG是是矩形，可得BF⊥FG；再根據(jù)線面垂直的判定定理，可得BF⊥平面CDE，及證。
【考點(diǎn)精析】利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．