Question

【題目】橢圓H： +y2=1（a＞1），原點O到直線MN的距離為 ，其中點M（0，﹣1），點N（a，0）．
（1）求該橢圓H的離心率e；
（2）經過橢圓右焦點F2的直線l和該橢圓交于A，B兩點，點C在橢圓上，O為原點， 若 = + ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線MN的方程為： + =1，即x﹣ay﹣a=0．∵ = ，解得a= ．

又b=1，則 = ．

∴該橢圓H的離心率e= = =

（2）解：由（1）可知：橢圓H的標準方程為： =1，設A（x1，y1），B（x2，y2）．

∵ = + ，∴C ，由A，B，C都在橢圓上，∴ =3，① =3，② +3 =3，③，由③化簡整理可得： （ ）+ （ ）+ （x1x2+3y1y2）=3，

把①②代入化簡可得：x1x2+3y1y2=0，④．設直線l的方程為：x=my+ ，代入橢圓方程可得：（m2+3）y2+2 my﹣1=0，∴y1+y2= ，y1y2= +3，

∴x1x2= =m2y1y2+ m（y1+y2）+2，

∴（m2+3）y1y2+ m（y1+y2）+2=0，

∴（m2+3） + m +2=0，解得m=±1．

∴直線l的方程為x=±y+ ．

當直線l的斜率為0時，其方程為：y=0，此時A（ ，0），B（﹣ ，0），不滿足④，舍去．

綜上可得：直線l的方程為x=±y+

【解析】（1）直線MN的方程為： + =1，即x﹣ay﹣a=0．由 = ，解得a= ．利用 ，即可的得出．H的離心率e= ．（2）由（1）可知：橢圓H的標準方程為： =1，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．由 = + ，可得C ，利用A，B，C都在橢圓上整理化簡可得：x1x2+3y1y2=0．設直線l的方程為：x=my+ ，代入橢圓方程可得：（m2+3）y2+2 my﹣1=0，利用根與系數的關系代入可得m，對直線l的斜率為0時，直接驗證即可．