Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知動圓S過定點P（﹣2 ），且與定圓Q：（x﹣2 ）2+y2=36相切，記動圓圓心S的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設曲線C與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點，點M，N為橢圓C上相異的兩點，其中點M在第一象限，且直線AM與直線BN的斜率互為相反數，試判斷直線MN的斜率是否為定值．如果是定值，求出這個值；如果不是定值，說明理由；
（3）在（2）條件下，求四邊形AMBN面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設圓S的半徑為R，

∵點 在圓 內，且兩圓相切

∴設PS=R，QS=6﹣R，

∴ ，

∴圓心S的軌跡為以P，Q為焦點，長軸長為6的橢圓

∴2a=6，2c=4 ，∴a=3，c=2 ，∴b2=1，

∴曲線C的方程為

（2）解：由（1）可知A（3，0），B（0，1）

設AM的斜率為k，則直線AM方程為y=k（x﹣3），直線BN方程為y=﹣kx+1

由 ，得M點坐標為 …

由 ，得

所以MN的斜率

（3）解：設MN的方程為 ，

由 ，得2x2+6mx+9m2﹣9=0

則 ，

A到直線MN的距離分別為

B到直線MN的距離分別為

所以四邊形AMBN面積 =

又﹣1＜m＜1，所以四邊形AMBN面積的取值范圍是

【解析】（1）根據兩圓相切可得出P S + Q S = P Q，進而得到圓心S的軌跡為以P，Q為焦點，長軸長為6的橢圓，利用已知求出橢圓的方程。（2）由斜截式求出兩條直線的方程，聯立它們與橢圓的方程，求出M、N兩點的坐標，進而求出MN的斜率。（3）聯立直線和橢圓的方程，消去y得到關于x的方程2x2+6mx+9m2﹣9=0，利用韋達定理，求出 x M+ x N 、xM .xN 的表達式，分別求出MN、以及A到直線MN的距離分別為 d1 和B到直線MN的距離分別為 d2，由題意四邊形AMBN面積 S = S △ AMN + S △ BMN= M N ( d 1 + d 2 ),再根據m的取值范圍進而得到邊形AMBN面積的取值范圍。