Question

【題目】（本小題滿分16分）已知數列（， ）滿足， 其中， ．

（1）當時，求關于的表達式，并求的取值范圍；

（2）設集合．

①若， ，求證： ；

②是否存在實數， ，使， ， 都屬于？若存在，請求出實數， ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）， （2）①詳見解析，②不存在

【解析】試題分析：（1）數列遞推關系式是一個分段函數，可通過分段點進行連接： ， ， ，根據對勾函數得，或，從而有（2）①當時，數列是一個等差數列，易得，從而，令，得．問題轉化為證明有滿足條件解，易求得②∴ ，問題轉化為是否存在三個不同的整數（），使得消去a,d得，由于，所以無解

試題解析：（1）當時，

， ， ． 2分

因為， ，或，

所以． 4分

（2）①由題意， ， ． 6分

令，得．

因為， ，

所以令，則． 8分

②不存在實數， ，使， ， 同時屬于． 9分

假設存在實數， ，使， ， 同時屬于．

，∴，

從而． 11分

因為， ， 同時屬于，所以存在三個不同的整數（），

使得從而

則． 13分

因為與互質，且與為整數，

所以，但，矛盾．

所以不存在實數， ，使， ， 都屬于． 16分