Question

【題目】已知數列an}的前n項和為Sn ， a1=1，a2=2，且點（Sn ， Sn+1）在直線y=tx+1上．
（1）求Sn及an；
（2）若數列{bn}滿足bn= （n≥2），b1=1，數列{bn}的前n項和為Tn ， 求證：當n≥2時，Tn＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，得Sn+1=tSn+1，令n=1有，S2=tS1+1，

∴a1+a2=ta1+1．代入a1=1，a2=2有t=2．

∴Sn+1=2Sn+1，則Sn=2Sn﹣1+1（n≥2）．

兩式相減有，an+1=2an，即 ，且 符合．

∴{an}為公比為2的等比數列．

則 ，

（2）證明：bn= = ＜ ．

∴當n≥2時，

Tn=b1+b2+…+bn =

【解析】（1）把點（Sn ， Sn+1）代入直線y=tx+1，結合a1=1，a2=2求得t，可得數列遞推式，進一步可得{an}為公比為2的等比數列．再由等比數列的通項公式和前n項和公式求得Sn及an；（2）把an代入bn= ，放縮可得 （n≥2），代入Tn=b1+b2+…+bn ， 由等比數列的前n項和證得當n≥2時，Tn＜2．
【考點精析】通過靈活運用數列的前n項和和數列的通項公式，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．