Question

【題目】已知數列{}中，，且對任意正整數都成立，數列{}的前n項和為Sn。

（1）若，且，求a；

（2）是否存在實數k，使數列{}是公比不為1的等比數列，且任意相鄰三項按某順序排列后成等差數列，若存在，求出所有k值，若不存在，請說明理由；

（3）若。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）時，，由等差數列定義知數列是等差數列，由可得，解得，（2）等差數列與等比數列的綜合，從等差數列列等量關系：因為數列{}是公比不為1，所以不為等差中項，只需討論與為等差中項：若為等差中項，則，即，化簡得：，解得（舍1）；；同理若為等差中項，（3）則，，從而，所以求和時要重新組合，每兩項作為一組，先求是偶數時，

，再求是奇數時，

，

試題解析：（1）時，，，所以數列是等差數列 1分

此時首項，公差，數列的前項和是 3分

故，即，得； 4分

（沒有過程，直接寫不給分）

（2）設數列是等比數列，則它的公比，所以，， 6分

①若為等差中項，則，即，解得：，不合題意；

②若為等差中項，則，即，化簡得：，

解得（舍1）；；

③若為等差中項，則，即，化簡得：，

解得；； 9分

綜上可得，滿足要求的實數有且僅有一個，； 10分

（3）則，

，， 12分

當是偶數時，

，

當是奇數時，

，也適合上式， 15分

綜上可得，． 16分