【題目】已知拋物線
： 
，定點
（常數
）的直線
與曲線
相交于
、
兩點.
（1）若點
的坐標為
，求證： 
（2）若
，以
為直徑的圓的位置是否恒過一定點？若存在，求出這個定點，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析（2））以
為直徑的圓恒過定點
【解析】試題分析：（1）要證明∠AED=∠BED，根據直線的傾斜角與斜率的關系，只要證KAE=-KBE即可，討論直線AB的斜率是否存在，設出直線方程，聯立拋物線的方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，即可得證；（2）設動直線l方程為x=ty+b，表示出B坐標，聯立l與拋物線解析式，消去x得到關于y的方程，根據根的判別式等于0得出t與b的關系式，進而設出A與O的坐標，表示出向量AO與向量BO根據圓周角定理得到兩向量垂直，即數量積為0，列出關系式，確定出當m=1，n=0時，上式對任意x∈R恒成立，即可得出使得以AB為直徑的圓恒過點O，以及此時O的坐標.
試題解析：（1）（a）當直線
垂直于
軸時，根據拋物線的對稱性有， 
；
當直線
與
軸不垂直時，依題意，
可設直線
的方程為
（
， 
）
， 
，則
、
兩點的坐標
滿足方程組
消去
并整理，得
， 
設直線
和
的斜率分別為
， 
，則
， 
.
綜合（a）（b）可知
.
（2）以
為直徑的圓恒過定點
.提示：證明
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求直方圖中x的值;
(2)求月平均用電量的眾數和中位數;
(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取多少戶?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從2016年1月1日起全國統一實施全面兩孩政策. 為了解適齡民眾對放開
生二胎政策的態度，某市選取70后作為調查對象，隨機調查了10人，其中打算生二胎
的有4人，不打算生二胎的有6人.
(1)從這10人中隨機抽取3人，記打算生二胎的人數為
，求隨機變量
的分布列和數學期望；
(2)若以這10人的樣本數據估計該市的總體數據，且以頻率作為概率，從該市70后中隨機抽取3人，記打算生二胎的人數為
，求隨機變量
的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業為了更好地了解設備改造前后與生產合格品的關系，隨機抽取了180件產品進行分析，其中設備改造前的合格品有36件，不合格品有49件，設備改造后生產的合格品有65件，不合格品有30件.根據所給數據：
⑴寫出
列聯表；⑵判斷產品是否合格與設備改造是否有關，說明理由.
附： 
，
|
|
|
|
|
|
|
|
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
（
）.
（1）若函數
在定義域上是單調函數，求實數
的取值范圍；
（2）求函數
的極值點；
（3）令
， 
，設
， 
， 
是曲線
上相異三點，其中
.求證： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系，將曲線
上的每一個點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的
，得到曲線
，以坐標原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系， 
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）求曲線
的參數方程；
（Ⅱ）過原點
且關于
軸對稱的兩條直線
與
分別交曲線
于
、
和
、
，且點
在第一象限，當四邊形
的周長最大時，求直線
的普通方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為調查高中生的數學成績與學生自主學習時間之間的相關關系.某重點高中數學教師對高三年級的50名學生進行了跟蹤調查，其中每周自主做數學題的時間不少于15小時的有22人，余下的人中，在高三年級模擬考試中數學平均成績不足120分鐘的占
，統計成績后，得到如下
的列聯表：
分數大于等于120分鐘 | 分數不足120分 | 合計 | |
周做題時間不少于15小時 | 4 | 22 | |
周做題時間不足15小時 | |||
合計 | 50 |
（Ⅰ）請完成上面的列聯表，并判斷能否有99%以上的把握認為“高中生的數學成績與學生自主學習時間有關”；
（Ⅱ）（�。┌凑辗謱映闃�，在上述樣本中，從分數大于等于120分和分數不足120分的兩組學生中抽取9名學生，設抽到的不足120分且周做題時間不足15小時的人數是
，求的分布列（概率用組合數算式表示）；
（ii） 若將頻率視為概率，從全校大于等于120分的學生中隨機抽取人，求這些人中周做題時間不少于15小時的人數的期望和方差.
附：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，設
為曲線
在點
處的切線，其中
.
（Ⅰ）求直線
的方程（用
表示）；
（Ⅱ）求直線
在
軸上的截距的取值范圍；
（Ⅲ）設直線
分別與曲線
和射線
（
）交于
， 
兩點，求
的最小值及此時
的值.
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